Mentionsy

Proszę Państwa, to zagadka ta wygląda tak, jakby coś było lekko absurdalnego, ale nic podobnego.

Przykład widzą Państwo na obrazku.

Nie narysowałem całych prostych, bo z pewnych względów to się nie da, więc będzie narysowany taki kawałek tych prostych, który będzie potrzebny.

Widać, każde drzewo jest w trzech rzędach.

Każdy rząd ma trzy drzewa.

No słowem jest wszystko w porządku.

Ale proszę Państwa, Girard de Zarg, człowiek, który zaprojektował i dopilnował wykonania ogrodów pałacowych w Wersalu, wolał takie rozwiązanie.

w dziesięciu rzędach, po trzy w każdym rzędzie.

Pierwsza z tych własności to jest taka, że każdy punkt ma tutaj tę samą rolę.

Powiedzą Państwo, że od razu widać, że nie, no więc ja będę teraz przekonywał, że tak.

Jeżeli wyróżnimy ten oto punkt, to zobaczymy, że jest on środkiem perspektywicznym narysowanych, już poprzednio narysowanych, tylko tutaj zakolorowanych trójkątów.

Środkiem perspektywicznym to znaczy proste z niego wychodzące przechodzą przez odpowiednie wierzchołki tych trójkątów.

Jeżeli wiadomo, które wierzchołki są odpowiednie, to wiadomo też, które proste są odpowiednie.

No a wobec tego przyjrzyjmy się, co się dzieje z tymi odpowiednimi prostymi bokami tych trójkątów.

Otóż odpowiednie boki tych trójkątów, a raczej zawierające je proste, przecinają się w trzech punktach, które o dziwo leżą na dziesiątej prostej, zamykającej tę konfigurację.

W ten sposób możemy zobaczyć, że każdy, właściwie każdy punkt jest w tej samej sytuacji.

wyróżniony został punkt zielony.

U mnie na obrazku widać, to jest ten punkt, o ten, o tutaj, to jest ten zielony.

I widać, że rzeczywiście są tutaj również narysowane dwa trójkąty.

On jest ich środkiem perspektywicznym, a odpowiednie boki przecinają się wzdłuż zielonej prostej.

to jest ich oś perspektywiczna.

Tym razem wybierzemy sobie ten punkt jako potencjalny środek i faktycznie są dwa trójkąty.

Widać, że ten punkt jest ich środkiem perspektywicznym, a niebieska linia, tym razem widać, która niebieska, prawda, chyba...

to ta niebieska linia jest ich osią perspektywiczną.

Oczywiście chętni z Państwa mogą wykonać jeszcze pozostałe siedem prób, sprawdzając, że każdy z innych punktów również spełnia ten warunek.

Okazuje się, że można tak ponazywać te proste,

I tak ponazywać te punkty, żeby rola każdego punktu była taka sama, jak rola prostej oznaczonej tą samą literą.

Na przykład proste G, H, I mają wspólny punkt J. No to spójrzmy, gdzie są punkty G, H, I i co zobaczymy?

To one takie poziome, prawda?

Czyli jest tak samo.

Albo spójrzmy na prostą A. Na prostej A leżą punkty B, C i G. No to teraz zobaczmy, gdzie jest punkt A. Widzimy i co?

Przez punkt A przechodzą B, C i G proste.

Czyli mamy do czynienia z taką sytuacją, że rola punktów i rola prostych jest absolutnie, zupełnie taka sama.

Następna rzecz to jest rzecz, którą już będę musiał narysować, proszę Państwa.

Mianowicie to jest to, że ta cała konfiguracja nie jest sztywna.

nie przestrzegając żadnych proporcji, które trzeba byłoby uwzględnić, gdyby było inaczej.

Rysuję sobie trzy proste, no i rysuję sobie jakieś trójkąty, na przykład taki trójkąt i powiedzmy taki trójkąt.

No to niewątpliwie ten punkt jest środkiem perspektywicznym dla tych trójkątów, tak?

To się domyka.

To właśnie pozwoli Państwu, jeżeli Państwo będą mieli ochotę, narysować sobie taki obrazek bez większego kłopotu, bo wystarczy linijka i to się zawsze zgodzi.

No i tam można posprawdzać, czy faktycznie prawdą było, że każdy punkt jest w takiej samej sytuacji, jak każda prosta, która też jest w takiej samej sytuacji, jak każdy punkt.

No, piękny wynik, ale proszę Państwa...

Tam czegoś brakowało właśnie.

Tutaj jest napisane, że jeżeli mają środek perspektywiczny, to o ile odpowiednie boki tych trójkątów się przecinają, to punkty te leżą na prostej.

To jest paskudne słowo o ile, tak?

Ja rysując to mogłem przecież narysować ten bok równoległy do tego boku, tak?

No i wtedy tego punktu by nie było.

Sięgnął mianowicie po dorobek barokowego malarstwa.

Mianowicie malarze baroku wymyślili coś takiego jak perspektywa zbieżna.

Innymi słowy spostrzeżenie, że proste równoległe, tak jak patrzymy, zgodnie z optyką geometryczną, mają wrażenie, jak gdyby wszystkie zmierzały do jednego punktu.

Ten punkt bywa czasami romantycznie nazywany punktem w nieskończoności, prawda?

A po prostu zwyczajnie należy go nazwać kierunek.

Te proste mają wspólny kierunek.

do zwyczajnej płaszczyzny kierunki wszystkich prostych, no to wówczas okaże się, że dwa trójkąty mają środek perspektywiczny wtedy i tylko wtedy, gdy mają oś perspektywiczną.

Proszę Państwa, to jest twierdzenie, od którego rozpoczęła się potężna dyscyplina, jaką jest geometria rzutowa.

Ale proszę Państwa, jak ktoś coś zrobi, to natychmiast się znajdą konkurenci.

30 lat młodszy od Desarga, Błażej Pascal, filozof, fizyk, matematyk.

To, że fizyk, to Państwo pewno wiedzą, jak słuchają Państwo informacji, ile hektopaskali aktualnie mamy ciśnienie, prawda?

To jest właśnie, on jest tą osobą, która jest uwieczniona w tej jednostce ciśnienia.

On postanowił rozwiązać problem posadzenia dziewięciu drzew w dziewięciu rzędach, po trzy w każdym rzędzie.

I proszę Państwa, ten problem okazał się istotnie trudniejszy od poprzedniego.

Innymi słowy, takiego swobodnego rysowania sobie nie da się tutaj wykonać.

Ale Pascal oczywiście znalazł też takie rozwiązanie, które ma wszystkie te zalety, które ma rozwiązanie Desarga.

Ja tutaj użyłem kilku kolorów, bo pewne rzeczy być może

Jakie tu jest zdanie reprezentowane?

Przeciwległe boki sześciokąta wpisanego w dwie proste przecinają się w punktach leżących na jednej prostej.

Państwo, co to znaczy, jak można sześciokąt wpisać w dwie proste?

Mianowicie na zmianę wierzchołki muszą być na jednej bądź na drugiej.

Tutaj na przykład na czerwono narysowany jest taki sześciokąt.

No i wracamy do punktu A.

Tutaj napisałem, że to ma wszystkie te zalety, co rozwiązanie dezarga.

No więc najpierw spróbujmy zobaczyć, czy może łatwiej nam będzie zobaczyć, że wszystkie proste mają tę samą własność.

Bo jeżeli Państwo spojrzą na prostą AEC i na prostą KML, to zobaczą Państwo, że tam jest też wpisany sześciokąt.

A, M, C, L, E, K, A. Widzą Państwo to?

A, M, C, L, E, K, A. Tak?

no to jego odpowiednie boki, które są odpowiednie, pierwszy z czwartym, drugi z piątym, trzeci z szóstym, przecinają się tym razem na prostej leżącej tutaj na dole, na prostej D, B, F. No jeżeli Państwo chcą nieco trudniej, no to weźmy prostą AKB i prostą ELF, tak?

I zobaczmy jak tutaj będzie.

Z F przechodzimy do B, z B przechodzimy do L, z L przechodzimy do K, z K przechodzimy do E i z E wracamy do A. Jeszcze raz, tak?

No dobrze, no to mamy A, F, B, L, K, E, A. A...

Ta prosta dodatkowa, która się pojawi jako przecięcie pierwszego z czwartym, drugiego z piątym i trzeciego z szóstym, ona jest tutaj lekko grubiej narysowana.

Widzą Państwo, jaka to jest wspaniała sytuacja.

No nie będę rysował tabelki, nie dlatego, żebym nie umiał, tylko dlatego, że mogą Państwo spróbować podołać temu.

Tak nazwać proste, żeby znowu można było powiedzieć, że prosta A ma te same własności, co punkt A, prawda?

Z takimi samymi literami ma coś wspólnego.

Ale proszę Państwa, wartość wyniku Pascala okazała się być jeszcze większa.

Mianowicie twierdzenie to zostało, a może jeszcze przepraszam, no to jeszcze tylko jedno pozwolę sobie zrobić, bo powiedziałem, że to nie jest sztywne, tak?

No to wobec tego powinienem pokazać, że to tak się rysuje.

No i te punkty... O, u mnie to tak nieładnie wyszło, bo to złe linijki używałem.

No też wyszła mi, wypukła w tę stronę.

Tak trochę niżej trzeba było.

I te punkty, jeżeli Państwo będą linijką rysowali, to to też się zgodzi.

No dobrze, ale powiedziałem, że tutaj jest dodatkowa jeszcze zaleta.

Mianowicie okazuje się, że można tutaj zgubić tą historię z drzewami i zauważyć, że możemy sześciokąt wpisywać nie w dwie proste,

tylko w dowolną stożkową, czyli w hiperbole, parabole czy elipse, tak jak tu jest narysowana elipsa, w szczególności w okrąg, no i wtedy można już nie zrobić tego, co przy dwóch prostych zawsze występuje.

Innymi słowy, może już nie być sytuacji takiej, że ten sześciokąt musi się sam ze sobą przecinać.

Tutaj widzą Państwo, że tak nie jest.

Taką stożkową, którą Państwo mają w domu, jest okrąg.

Jeżeli Państwo w okrąg piszą sześciokąt tak, żeby to się przecinało, to również to, że przeciwległe boki będą się przecinały w punktach leżących na jednej prostej, znowu się okaże prawdziwe.

Ten wynik ma dodatkową wartość.

Mianowicie z niego wynika, że przez dowolne pięć punktów, z których trzy nie leżą na jednej prostej, można poprowadzić stożkową.

Proszę Państwa, jak to?

Linijką narysować stożkową?

Weźmy sobie pięć punktów.

No to coś przypomina z tamtego rysunku, prawda?

To jest jak gdyby tylko dalej nie mogę rysować, bo nie mam pozostałych punktów.

No zmienię kolor kredy, tak?

Pokażę, gdzie leży punkt tej stożkowej na dowolnej prostej wyprowadzonej z tego punktu.

Pokażę, gdzie na takiej prostej leży ten dodatkowy punkt stożkowy.

Dlaczego mogę tak zrobić?

Mogę tak zrobić dlatego, że te białe proste, to jak Państwo zauważyli, doliczyłem się do czterech, tak?

To pierwsza z czwartą już się przecina, tak?

No a ta czerwona, to który numer wynosiła, gdyby tam było?

Tak?

No bo to jest raz, dwa, trzy, cztery, pięć i to byłaby szósta, tak?

No jeżeli to byłaby szósta, to istotny jest jej punkt przecięcia z trzecią.

prostą ta skala.

Tak?

I wobec tego to jest punkt przecięcia prostej piątej z prostą drugą.

No to wobec tego... Zginęła mi kreda.

Proszę Państwa, wobec tego ten punkt jest punktem stożkowym.

Pięknie, nie?

Widać, że jeśli na każdej prostej mogę znaleźć punkt tej stożkowej, to szczególnie gdybym był ogrodnikiem, tak jak dezark, to mógłbym spokojnie taką elipsę zrobić, sadzając krzaczki, bo bym mógł w takich dowolnie wielu punktach to znaleźć.

Mianowicie można zrobić rzecz taką.

Powiedział, że jeżeli mamy ten sześciokąt, widzą Państwo ten sześciokąt, który tutaj jest, prawda?

To jest ten rysunek, który już był.

To ja teraz wezmę dwa punkty, mianowicie ten i ten, w palce i je mocno ścisnę.

No tutaj była sieczna przez te dwa punkty, tak?

Co się dzieje z sieczną, kiedy się te punkty zetkną?

No to proszę Państwa, otrzymałbym rysunek taki.

Widzą Państwo, dla pięciokąta, jeżeli w jednym wierzchołku zrobimy styczną, zamiast tego boku tutaj, tak?

To znowu dostaniemy twierdzenie dla pięciokąta.

To wtedy albo otrzymam taki rysunek jak ten, widzą Państwo, czyli twierdzenie dla czworokąta, albo taki jak ten, czyli znowu twierdzenie dla czworokąta, tak?

Otrzymam takie twierdzenie dla trójkąta.

Widzą Państwo jak wspaniale, nie?

Jak sobie przypomniałem o dualności, to mogę teraz to zrobić wszystko dualnie.

Dualne do punktu stożkowej jest styczna w tym miejscu.

Tak?

Widzą Państwo, to są te same obrazki, jeszcze raz powtórzę, te same obrazki co tu, tyle że rola punktów i prostych została zamieniona.

Widzą Państwo, jak wiele można osiągnąć używając tylko linijki i jak piękną dyscypliną jest geometria rzutowa.

I polecam, polecam nie tylko tym, którzy chcą się nią zająć na poważnie, ale każdemu, żeby się pobawił trochę, ile to można osiągnąć linijką bez podziałki i jaka to bogata z tego robi się geometria.

Gerard Hessenberg udowodnił, że z twierdzenia Pascala wynika twierdzenie Desarga, czyli że istnieją takie obiekty matematyczne, gdzie prawdziwe jest twierdzenie Desarga, a twierdzenie Pascala niekoniecznie, ale jeżeli już gdzieś jest prawdziwe twierdzenie Pascala, to nie ma rady.

No ale Kipling na końcu...

Księgi dżungli napisał, że to już jest historia dla dorosłych i ja myślę, że ta geometria żółtowa też.

Bardzo Państwu dziękuję.