Mentionsy

Wbrew pozorom to ma aż dziewięć rozwiązań to zadanie i to istotnie różnych rozwiązań.

Nie narysowałem całych prostych, bo z pewnych względów to się nie da, więc będzie narysowany taki kawałek tych prostych, który będzie potrzebny.

Widać, każde drzewo jest w trzech rzędach.

Ale proszę Państwa, Girard de Zarg, człowiek, który zaprojektował i dopilnował wykonania ogrodów pałacowych w Wersalu, wolał takie rozwiązanie.

w dziesięciu rzędach, po trzy w każdym rzędzie.

Pierwsza z tych własności to jest taka, że każdy punkt ma tutaj tę samą rolę.

Jeżeli wyróżnimy ten oto punkt, to zobaczymy, że jest on środkiem perspektywicznym narysowanych, już poprzednio narysowanych, tylko tutaj zakolorowanych trójkątów.

Środkiem perspektywicznym to znaczy proste z niego wychodzące przechodzą przez odpowiednie wierzchołki tych trójkątów.

Jeżeli wiadomo, które wierzchołki są odpowiednie, to wiadomo też, które proste są odpowiednie.

No a wobec tego przyjrzyjmy się, co się dzieje z tymi odpowiednimi prostymi bokami tych trójkątów.

Otóż odpowiednie boki tych trójkątów, a raczej zawierające je proste, przecinają się w trzech punktach, które o dziwo leżą na dziesiątej prostej, zamykającej tę konfigurację.

On jest ich środkiem perspektywicznym, a odpowiednie boki przecinają się wzdłuż zielonej prostej.

to jest ich oś perspektywiczna.

Widać, że ten punkt jest ich środkiem perspektywicznym, a niebieska linia, tym razem widać, która niebieska, prawda, chyba...

to ta niebieska linia jest ich osią perspektywiczną.

Oczywiście chętni z Państwa mogą wykonać jeszcze pozostałe siedem prób, sprawdzając, że każdy z innych punktów również spełnia ten warunek.

Na przykład proste G, H, I mają wspólny punkt J. No to spójrzmy, gdzie są punkty G, H, I i co zobaczymy?

Widzą Państwo G, H, I?

Przez punkt A przechodzą B, C i G proste.

Czyli mamy do czynienia z taką sytuacją, że rola punktów i rola prostych jest absolutnie, zupełnie taka sama.

nie przestrzegając żadnych proporcji, które trzeba byłoby uwzględnić, gdyby było inaczej.

No to niewątpliwie ten punkt jest środkiem perspektywicznym dla tych trójkątów, tak?

To właśnie pozwoli Państwu, jeżeli Państwo będą mieli ochotę, narysować sobie taki obrazek bez większego kłopotu, bo wystarczy linijka i to się zawsze zgodzi.

Tutaj jest napisane, że jeżeli mają środek perspektywiczny, to o ile odpowiednie boki tych trójkątów się przecinają, to punkty te leżą na prostej.

do zwyczajnej płaszczyzny kierunki wszystkich prostych, no to wówczas okaże się, że dwa trójkąty mają środek perspektywiczny wtedy i tylko wtedy, gdy mają oś perspektywiczną.

Ale proszę Państwa, jak ktoś coś zrobi, to natychmiast się znajdą konkurenci.

To, że fizyk, to Państwo pewno wiedzą, jak słuchają Państwo informacji, ile hektopaskali aktualnie mamy ciśnienie, prawda?

On postanowił rozwiązać problem posadzenia dziewięciu drzew w dziewięciu rzędach, po trzy w każdym rzędzie.

Przeciwległe boki sześciokąta wpisanego w dwie proste przecinają się w punktach leżących na jednej prostej.

Mianowicie na zmianę wierzchołki muszą być na jednej bądź na drugiej.

no to jego odpowiednie boki, które są odpowiednie, pierwszy z czwartym, drugi z piątym, trzeci z szóstym, przecinają się tym razem na prostej leżącej tutaj na dole, na prostej D, B, F. No jeżeli Państwo chcą nieco trudniej, no to weźmy prostą AKB i prostą ELF, tak?

No więc proszę uważać, z A przechodzimy do F,

Z F przechodzimy do B, z B przechodzimy do L, z L przechodzimy do K, z K przechodzimy do E i z E wracamy do A. Jeszcze raz, tak?

Tak trochę niżej trzeba było.

Mianowicie okazuje się, że można tutaj zgubić tą historię z drzewami i zauważyć, że możemy sześciokąt wpisywać nie w dwie proste,

tylko w dowolną stożkową, czyli w hiperbole, parabole czy elipse, tak jak tu jest narysowana elipsa, w szczególności w okrąg, no i wtedy można już nie zrobić tego, co przy dwóch prostych zawsze występuje.

Jeżeli Państwo w okrąg piszą sześciokąt tak, żeby to się przecinało, to również to, że przeciwległe boki będą się przecinały w punktach leżących na jednej prostej, znowu się okaże prawdziwe.

Mianowicie z niego wynika, że przez dowolne pięć punktów, z których trzy nie leżą na jednej prostej, można poprowadzić stożkową.

To jest jak gdyby tylko dalej nie mogę rysować, bo nie mam pozostałych punktów.

Mogę tak zrobić dlatego, że te białe proste, to jak Państwo zauważyli, doliczyłem się do czterech, tak?

Widać, że jeśli na każdej prostej mogę znaleźć punkt tej stożkowej, to szczególnie gdybym był ogrodnikiem, tak jak dezark, to mógłbym spokojnie taką elipsę zrobić, sadzając krzaczki, bo bym mógł w takich dowolnie wielu punktach to znaleźć.

Widzą Państwo, dla pięciokąta, jeżeli w jednym wierzchołku zrobimy styczną, zamiast tego boku tutaj, tak?

W trzech miejscach mogę ścisnąć.

Widzą Państwo, to są te same obrazki, jeszcze raz powtórzę, te same obrazki co tu, tyle że rola punktów i prostych została zamieniona.

I polecam, polecam nie tylko tym, którzy chcą się nią zająć na poważnie, ale każdemu, żeby się pobawił trochę, ile to można osiągnąć linijką bez podziałki i jaka to bogata z tego robi się geometria.

Gdyby chcieć formalnie iść, no to proszę Państwa, jeszcze możemy powiedzieć, że 250 lat później od Dezarga.

Gerard Hessenberg udowodnił, że z twierdzenia Pascala wynika twierdzenie Desarga, czyli że istnieją takie obiekty matematyczne, gdzie prawdziwe jest twierdzenie Desarga, a twierdzenie Pascala niekoniecznie, ale jeżeli już gdzieś jest prawdziwe twierdzenie Pascala, to nie ma rady.

Księgi dżungli napisał, że to już jest historia dla dorosłych i ja myślę, że ta geometria żółtowa też.